第１回　「論理」

1. 論理（logic）とは
　　すじ道の立った思考や議論の進め方。
　　数学で扱う論理は、命題（Proposition）を対象。
　　命題（Proposition）：客観的にその真・偽を判定できる記述。

2. 命題と真理値
　　命題は、その真偽が客観的に判定できる文、式、記号などの記述である
　　命題のとる真・偽という値を真理値とよぶ
（例）
1+2=3 :真の値をとる命題
1+1=3 :偽の値をとる命題
3は素数である :真の値をとる命題
最小の素数:命題でない（真・偽以外の値）
明日は雨でしょう:命題でない（真・偽が不明）

3. 命題の合成
　　命題：「今日の天気は雨で、かつ、風が強い」
　　　　　＝　「今日の天気は雨である」　＋　「今日は風が強い」
　　複合命題：基本命題を組み合わせた（合成した）命題。

4. 論理演算
　　命題の合成は、演算のひとつ。
　論理演算子
　　A：「今日は天気は雨である」という命題を表す命題変数
　　B：「今日は風が強い」という命題を表す命題変数
　　　とすると、
　（１）論理積（and）「かつ」　∧
　　　　　A ∧ B：「今日の天気は雨で、かつ、風が強い」
　　　　　　　　　という、複合命題（論理積）を表す

　（２）論理和（or）「または」　∨
　　　　　A ∨ B：「今日の天気は雨か、または、風が強い」
　　　　　　　　　という、複合命題（論理和）を表す

　（３）否定（not）「かつ」　〜
　　　　　〜A：「今日の天気は雨でない」
　　　　　　　　　という、複合命題（否定）を表す

　（４）排他的論理和（xor）「exclusive or」　AまたはＢのどちらか一方
　　　　　A B：「今日の天気は雨、または、風が強いかのどちら一方である」
　　　　　　　　　という、複合命題（排他的論理和）を表す

5. 真理値表（Truth table）
　　論理式：　命題を変数や記号を用いて表したもの
　　（例）A ∧ B、　〜（A ∨ B）、・・・・

　　真理値表：　論理式と変数の真理値を対応づけた表
　　　　　真　→　T, 1
　　　　　偽　→　F, 0　　　で表す。

（１）A ∨ Bの真理値表
ABA ∨ B
000
011
101
111

 （２）A ∧ Bの真理値表
ABA ∧ B
000
010
100
111

（３）〜Aの真理値表
A〜A
01
10
 （４）A Bの真理値表
ABA B
000
011
101
110

6. 論理式の公式
（１）べき等則A∨A= A, A∧A= A
（２）交換則A∨B= B∨A, A∧B= B∧A
（３）分配則A∧(B∨C)= (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C)= (A∨B)∧(A∨C)
（４）結合則(A∨B)∨C= A∨(B∨C)
(A∧B)∧C= A∧(B∧C)
（５）吸収則A∨(A∧B)= A
A∧(A∨B)=A
（６）その他A∨1= 1, A∧1=A
A∨0= A, A∧0=0
A∨〜A= 1, A∧〜A=0
（７）ド・モルガンの定理〜(A∨B)= 〜A∧〜B
〜(A∧B)= 〜A∨〜B
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